Teorema do índice para operadores de Dirac

O obxectivo deste traballo consiste en describir unha demostración do teorema do índice de Atiyah-Singer para operadores de Dirac, obtida mediante o uso de ideas físicas, como a expansión asintótica do núcleo de Schwartz da ecuación da calor e o cálculo simbólico de Getzler. Este teorema aplícase a variedades de Riemann compactas sen bordo, orientables, de dimensión par e dotadas de certos fibrados de Clifford. O correspondente operador de Dirac actúa nas súas seccións diferenciables; máis concretamente, aplica o espazo das seccións pares no das seccións impares, respecto dunha graduación do fibrado de Clifford. Este operador é elíptico, e polo tanto Fredholm; é dicir, con núcleo e conúcleo de dimensión finita. Obtense así un índice analítico definido como a diferencia entre as dimensións do núcleo e o conúcleo. O teorema do índice establece que este índice analítico é igual á evaluación de certa clase característica, o Â-xénero, na clase de homoloxía fundamental da variedade (integral do Â-xénero na variedade). Tomando coeficientes arbitrarios, trátase dun resultado moi xeral que inclúe importantes teoremas como os de Gauss-Bonnet, da signatura e Riemann-Roch, e que ten utilidade tanto en Xeometría e Topoloxía como na Física Teórica.
Na demostración aquí desenvolvida interveñen unha ampla variedade de conceptos, como a curvatura, as clases características, as álxebras de Clifford, os operadores de Dirac, as estruturas spin, os espazos de Sobolev, a descomposición espectral, a descomposición de Hodge, operadores de tipo traza, núcleos de Schwartz, expansións asintóticas e cálculo simbólico. Deste xeito, manéxanse numerosas ferramentas xeométricas, topolóxicas, analíticas e alxébricas.