Solitones asociados a estructuras geométricas y formas de Killing

Centramos nuestro estudio en las variedades pseudo-Riemannianas (en particular Riemannianas y Lorentzianas) dotadas de determinadas estructuras adicionales inducidas por ciertas ecuaciones diferenciales de evolución geométrica (las ecuaciones de solitón de Yamabe y las ecuaciones de solitón de Cotton) o bien por ciertas ecuaciones tensoriales definidas sobre el fibrado tangente a la variedad (ecuaciones del tensor de Cotton en variedades de dimensión tres y las ecuaciones de una estructura casi compleja nearly Kähler en dimensión seis). Los solitones de Yamabe y de Cotton vienen dados como soluciones de una ecuación diferencial por lo que nuestro interés se enfoca a la construcción de nuevas soluciones y a la determinación de la estructura subyacente a las variedades Lorentzianas que los admiten, con el fin de obtener caracterizaciones geométricas en cada caso. El estudio del tensor curvatura en dimensión tres se simplifica de forma notable gracias al hecho de que el tensor de Weyl es idénticamente nulo y, por tanto, se encuentra totalmente determinado por el tensor de Ricci de la variedad. Además, la nulidad del tensor de Weyl conlleva que sea el tensor de Cotton el que desempeñe su papel en la caracterización de las variedades localmente conformemente llanas. Dedicamos especial atención al estudio de las variedades pseudo-Riemannianas no localmente conformemente llanas con tensor de Cotton paralelo con el fin de obtener una caracterización geométrica de las mismas. Además, estudiamos otras condiciones de paralelismo para el tensor de Cotton: variedades con tensor de Cotton cíclico paralelo o tensor de Cotton Codazzi. Los solitones de Yamabe con curvatura escalar constante y los solitones de Ricci están directamente relacionados con las colineaciones de Ricci y con los campos de vectores 1-armónicos, a los que dedicamos especial atención en el caso homogéneo. Estas clases de campos de vectores son generalizaciones de los campos de vectores de Killing como lo son, por ejemplo, las formas de Killing. El estudio de las formas de Killing sobre variedades Riemannianas en la literatura está estrechamente ligado a la existencia de ciertas estructuras algebraicas sobre la variedad en cuestión, como por ejemplo en las variedades Kähler. Motivados por esto, dedicamos también especial atención al estudio de formas de Killing sobre las variedades nearly Kähler no Kähler de dimensión seis.