Sobre los espacios de categoría dos

En 1934 Lusternik y Schnirelmann introdujeron una acotacion inferior del numero
de puntos crticos de una funcion diferenciable denida sobre una variedad M
[27]. Esta acotacion, conocida como la categora de Lusternik y Schnirelmann, fue
denida para un espacio topologico A por Fox en 1941 como el menor entero n
tal que A puede recubrirse por n + 1 abiertos contractiles en A y es un invariante
numerico del tipo de homotopa.
La categora es un invariante que aporta informacion muy interesante sobre el
tipo de homotopa del espacio (e.g. un espacio tiene categora uno si y solo si es
un co-H-espacio), pero su calculo directo es difcil. Whitehead y Ganea introdujeron
en 1956 y 1961 caracterizaciones alternativas de la categora, que permiten
comprenderla mejor y que en algunos casos facilitan el calculo.
Otra manera de enfocar el problema de la determinacion de la categora es
tratar de acotarla, introduciendo nuevos invariantes numericos. Entre las posibles
acotaciones se encuentra la categora fuerte o longitud de conos, un invariante del
tipo de homotopa introducido por Ganea en [16] y perfeccionado por Cornea en
[7], que es una acotacion superior. De hecho, estos invariantes estan muy proximos:
la diferencia entre la categora y la categora fuerte es a lo sumo uno. Los co-Hespacios
que no son suspensiones son espacios de categora uno y categora fuerte
dos [6] y existen ejemplos recientes [11] de espacios de categora tres y categora
fuerte cuatro. Curiosamente, los espacios de categora dos permanecen aun sin
desvelar: no se conocen ejemplos de espacios con categora dos y categora fuerte
tres.