Algebras de Lie graduadas y estructuras de segundo orden asociadas

Una estructura de Cartan de tipo R/S sobre una variedad diferenciable M de igual dimensión que un espacio homogéneo modelo R/S es un par (Q, ξ) formado por un S-fibrado principal πQ : Q → M y por una conexión de Cartan ξ ∈ V1(Q,R) de tipo R/S sobre Q, siendo R el álgebra de Lie del grupo de Lie R. Recordemos que una conexión de Cartan ξ no es una conexión, sino una especie de generalización de la forma de Maurer-Cartan del grupo de Lie R. Un ejemplo bien conocido es el de la estructura de Cartan afín que aparece sobre cualquier variedad M de dimensión n del modo siguiente: si FM denota el GL(n,R)-fibrado de las referencias lineales de M y θ ∈ V1(FM,Rn) es la forma canónica de FM, basta tomar Q = FM, fijar una conexión lineal χ ∈ V(Q,S) sobre M y entonces ξ = χ + θ es una conexión de Cartan de tipo R/S, siendo Rn = R/S bajo la acción del grupo afín R = GA(n,R), S = GL(n,R), R = ga(n,R) y S = gl(n,R).