Categoría de lusternik-schnirelmann y funciones de morse en los espacios simétricos

La categor´ıa de Lusternik y Schnirelmann de un espacio topol´ogico X es el menor entero n tal que X  puede ser recubierto por n + 1 abiertos contr´actiles en X (abiertos categ´oricos). El primero en la lista de problemas de la teor´ıa de invariantes homot´opicos num´ericos de T. Ganea  es “calcular la categor´ıa de variedades familiares: variedades de Stiefel, grupos de Lie, etc.”. La pregunta de Ganea  es de 1970 y, sin embargo, au´n no se ha podido responder completamente  pues los avan- ces son lentos y dif´ıciles.  La dificultad del c´alculo  directo ha tratado de paliarse introduciendo diferentes t´ecnicas y aproximaciones algebraicas.

El objetivo inicial de la presente Memoria era calcular de modo sencillo la categor´ıa  de Lusternik-Schnirelmann de algunos grupos de Lie cl´asicos.  Uno de los primeros m´etodos  con los que nos encontramos al introducirnos en el estudio de este invariante topol´ogico para dichos grupos fue el que utiliz´o W. Singhof en 1975 para calcular la categor´ıa del grupo unitario U (n). Este autor obtiene un recubrimiento expl´ıcito formado por n abiertos categ´oricos. Considera abiertos del tipo Ω(z) formados por la matrices complejas n × n tales que A − zI es inversible, donde z ∈ C es un complejo de norma 1 y prueba que sus componentes conexas son contr´actiles utilizando la aplicaci´on exponencial. Una adaptaci´on de este m´etodo ha sido utilizada en 2008 por M. Mimura y K. Sugata para calcular la categor´ıa de los espacios sim´etricos SU (n)/SO(n)  y SU (2n)/Sp(n).