EL PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO

El presente trabajo aborda el estudio del problema isoperimétrico desde sus raíces más clásicas hasta su formulación en contextos geométricos más avanzados. Dicho problema aspira a comprender qué regiones de un espacio ambiente dado minimizan el área de su frontera bajo una restricción de volumen fijo. En su formulación clásica en el plano euclídeo R2, se demuestra rigurosamente que entre todas las curvas de Jordan la que encierra mayor área es la circunferencia, hecho que se formaliza mediante la desigualdad isoperimétrica en el plano. Además, se generaliza el problema isoperimétrico a dimensión superior, mostrando que en Rn la esfera es la única hipersuperficie compacta y conexa que minimiza el área para un volumen fijado. Esto se llevará a cabo probando el teorema de Alexandrov y las propiedades variacionales de las hipersuperficies de curvatura media constante.
Este trabajo extiende el análisis del problema isoperimétrico al marco de las variedades riemannianas, donde la resolución del problema isoperimétrico resulta ser de gran dificul-tad. En este contexto, se introduce la constante isoperimétrica de Cheeger, definida como el ínfimo de los cocientes entre área de frontera y volumen de dominios regulares. Esta constante posee además propiedades analíticas profundas, ya que proporciona una cota inferior para el primer autovalor del operador de Laplace-Beltrami con condiciones de Di-richlet. Además, el presente trabajo estudia en detalle el cálculo explícito de la constante isoperimétrica de Cheeger en cierta familia de espacios geométricos de gran importancia, como es el caso de los grupos de Lie resolubles y simplemente conexos con métrica inva-riante a la izquierda, donde dicha constante puede expresarse en términos de la traza de la representación adjunta del álgebra de Lie.
Finalmente, se analiza un caso particularmente interesante: los espacios simétricos de tipo no compacto. Cada uno de estos espacios resulta ser isométrico a un grupo de Lie reso-luble y simplemente conexo con métrica invariante a la izquierda, permitiendo calcular en ellos la constante de Cheeger mediante herramientas estructurales como la descomposición en espacios de raíces y la descomposición de Iwasawa. Además, se explicitará el cálculo de la constante de Cheeger en el caso concreto de los espacios hiperbólicos real y complejo.