El problema isoperimétrico

Este traballo aborda o estudo do problema isoperimétrico, dende as súas raíces clásicas ata a súa formulación en contextos xeométricos máis avanzados. Este problema ten como obxectivo determinar que rexións dun espazo ambiente dado minimizan a área do seu límite baixo unha restrición de volume fixa. Na súa formulación clásica no plano euclidiano R², demóstrase rigorosamente que, entre todas as curvas de Jordan, a que encerra a área máis grande é o círculo, un feito formalizado pola desigualdade isoperimétrica no plano. Ademais, o problema isoperimétrico xeneralízase a dimensións superiores, mostrando que en Rⁿ a esfera é a única hipersuperficie compacta e conectada que minimiza a área para un volume fixo. Isto conseguirase demostrando o teorema de Alexandrov e as propiedades variacionais das hipersuperficies con curvatura media constante. Este traballo estende a análise do problema isoperimétrico ao marco das variedades riemannianas, onde resolver o problema resulta extremadamente difícil. Neste contexto, introdúcese a constante isoperimétrica de Cheeger, definida como o ínfimo das relacións entre a área do límite e o volume dos dominios regulares. Esta constante tamén posúe profundas propiedades analíticas, xa que proporciona un límite inferior para o primeiro autovalor do operador de Laplace-Beltrami en condicións de Dirichlet. Ademais, este traballo estuda en detalle o cálculo explícito da constante isoperimétrica de Cheeger nunha determinada familia de espazos xeométricos importantes, como os grupos de Lie solucionables e simplemente conectados cunha métrica invariante á esquerda, onde esta constante pode expresarse en termos da traza da representación adxunta da álxebra de Lie. Finalmente, analízase un caso particularmente interesante: os espazos simétricos non compactos. Cada un destes espazos resulta ser isométrico a un grupo de Lie solucionable e simplemente conectado cunha métrica invariante á esquerda, o que permite o cálculo da constante de Cheeger neles usando ferramentas estruturais como a descomposición do espazo raíz e a descomposición de Iwasawa. Ademais, o cálculo da constante de Cheeger demostrarase explicitamente no caso específico de espazos hiperbólicos reais e complexos.