Aplicación de las fórmulas de Bochner al estudio de variedades 4 dimensionales doblemente casi-hermíticas

Una estructura doblemente casi-hermítica (g, J, J_) es un par de estructuras casicomplejas conmutativas (JJ_ = J_J) junto con una métrica adaptada sobre una variedad dada. Estas estructuras, asociadas a la reducción del grupo de estructura a U(p) × U(q), aparecen de forma natural en el estudio de diversos problemas geom´etricos, en especial sobre dimensión cuatro. Así, es conocido que la existencia de tales estructuras es equivalente a la de un campo de 2-planos orientados sobre M4 y, por tanto, a la existencia de determinadas métricas de signatura (++−−). Geométricamente, la equivalencia anterior puede ser realizada a través de una estructura casi-producto Q obtenida a partir de la estructura doblemente casi-compleja como Q = −JJ_. Por tanto, y como parecería razonable

esperar, las propiedades de las estructuras casi-hermíticas (g, J) y (g, J_) influyen en las propiedades de la estructura casi-producto (g,Q) y recíprocamente. A modo de ejemplo señalemos aquí que una variedad es doblemente Kähler si y sólo si la variedad es localmente isométrica a un producto de variedades Kählerianas.

Es bien conocido que las distintas clases de estructuras casi-hermíticas influyen en las propiedades de la curvatura de la variedad y recíprocamente, determinadas propiedades de la curvatura determinan la estructura casi-hermítica. Señalemos a modo de ejemplo la situación de los espacios complejos generalizados, donde una fuerte restricción en la curvatura conlleva la integrabilidad de la estructura casi-compleja y, en dimensiones superiores a seis, el carácter Kähleriano de la misma. Sin embargo, existen otras condiciones más débiles sobre la curvatura que son todavía cuestión de análisis en la actualidad. Así, la conjetura de Goldberg, que afirma la integrabilidad de las estructuras simplécticas sobre variedades compactas de Einstein es todavía hoy en día un problema abierto.